¿Quién conocía el teorema de Pitágoras 1.000 años antes en Babilonia?

Mucho antes de que Pitágoras naciera en la isla griega de Samos, los matemáticos de Mesopotamia ya resolvían problemas utilizando la relación que hoy lleva su nombre. Una tablilla babilónica de arcilla de hace unos 3.700 años contiene cálculos equivalentes a aplicar el célebre principio según el cual, en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa equivale a la suma de los cuadrados de los catetos.

No significa que alguien hubiese escrito literalmente a² + b² = c² en cuneiforme —esa notación pertenece a otra época— ni que Pitágoras copiara a un remoto profesor babilónico. Significa algo más interesante y bastante mejor documentado: los escribas de la antigua Babilonia conocían y utilizaban esa relación matemática más de un milenio antes de la vida del filósofo griego. Y no es una conjetura nacida de cuatro muescas ambiguas en el barro; existen varias tablillas que apuntan en la misma dirección.

Una fórmula que ya funcionaba hacia el año 1770 a. C.

Una de las piezas más reveladoras es conocida por el poco poético nombre de IM 67118, también catalogada como Db 2-146. Procede del periodo paleobabilónico y se conserva en el Museo Nacional de Irak, en Bagdad. La tablilla matemática de arcilla pertenece aproximadamente al periodo comprendido entre 1900 y 1600 a. C.

Su datación suele situarse alrededor de 1770 a. C. La pieza fue excavada en 1962 en Tell edh-Dhiba’i, un asentamiento próximo a la actual Bagdad, y publicada ese mismo año por el arqueólogo y asiriólogo iraquí Taha Baqir. Es decir, conviene quitarle un poco de polvo moderno al asunto: el objeto no acaba de aparecer ni ha sido descifrado en 2026. La historia ha regresado a la actualidad, pero la tablilla lleva más de seis décadas formando parte de la historia documentada de las matemáticas.

Qué aparece realmente en la tablilla IM 67118

El problema planteado en la arcilla trata de un rectángulo del que se conocen el área y la diagonal. El escriba debe determinar las longitudes de sus lados y después comprueba el resultado mediante una relación geométrica equivalente a lo que nosotros identificamos con el teorema de Pitágoras.

No estamos ante una fórmula moderna disfrazada de arqueología. Los babilonios trabajaban con palabras, diagramas, áreas y números escritos mediante un sistema sexagesimal, es decir, basado en 60. Sus procedimientos intelectuales no eran idénticos a los nuestros, aunque el resultado matemático pueda traducirse al lenguaje actual.

La ecuación moderna que ellos no necesitaban escribir

Actualmente la relación se expresa como a² + b² = c². Si un triángulo rectángulo tiene catetos de 3 y 4 unidades, su hipotenusa mide 5, porque 3² + 4² = 5²: 9 + 16 = 25.

Para un estudiante del siglo XXI es una pequeña cuenta de cuaderno. Para comprender lo extraordinario de la tablilla hay que retirar el cuaderno, la calculadora, los números arábigos, el álgebra simbólica e incluso buena parte del vocabulario matemático que hoy damos por supuesto. Queda arcilla húmeda, un estilete de caña y una cultura capaz de manejar relaciones geométricas complejas hace casi cuatro milenios.

No es una tablilla aislada: Babilonia dejó más pistas

IM 67118 resulta especialmente sugerente, pero no está sola. La pieza más famosa es probablemente Plimpton 322, una tablilla babilónica de aproximadamente la misma época conservada en la Universidad de Columbia, en Nueva York. Sus 15 filas contienen números que pueden interpretarse como ternas pitagóricas: conjuntos de valores enteros que satisfacen la relación entre los lados de un triángulo rectángulo.

La interpretación matemática de Plimpton 322 se remonta al menos a los trabajos de Otto Neugebauer y Abraham Sachs en la década de 1940. Mucho después, Daniel Mansfield y Norman Wildberger propusieron que podía entenderse como una especie de tabla trigonométrica basada en proporciones. Esa última interpretación ha generado debate académico, así que conviene no convertir una hipótesis discutida en dogma. Lo indiscutible es mucho más sencillo: la tablilla contiene sofisticadas relaciones numéricas asociadas a triángulos rectángulos y ternas pitagóricas.

Una raíz cuadrada de 2 sorprendentemente precisa

Otro pequeño pedazo de arcilla, YBC 7289, conservado en la colección babilónica de Yale, muestra un cuadrado, sus diagonales y una aproximación extraordinariamente precisa de la raíz cuadrada de 2. Esa cantidad aparece precisamente cuando se calcula la diagonal de un cuadrado utilizando la relación entre sus lados.

El cálculo conservado ofrece una precisión de seis cifras decimales. Para una civilización de hace unos 3.800 años no está mal. Ni siquiera había papel donde equivocarse y hacer una bola para encestarla en la papelera.

Hay además una evidencia especialmente práctica: Si.427, una tablilla del periodo paleobabilónico estudiada por Daniel Mansfield. Representa la división de unos terrenos y emplea lo que ahora denominamos ternas pitagóricas para construir ángulos rectos precisos. La pieza, conservada en Estambul, está datada entre aproximadamente 1900 y 1600 a. C. y constituye uno de los ejemplos más antiguos conocidos de geometría aplicada.

Aquí la matemática baja del pedestal y se mancha las sandalias. No era solo pensamiento abstracto: servía para medir tierras, marcar límites y resolver problemas concretos. Un vecino vende parte de una parcela, otro quiere saber dónde acaba exactamente la suya y aparece el antiguo equivalente del topógrafo. Con arcilla en vez de tableta electrónica, pero con triángulos bastante bien puestos.

Entonces, ¿Pitágoras no descubrió el teorema de Pitágoras?

La respuesta más rigurosa es que no tenemos pruebas de que Pitágoras fuera el descubridor original de la relación matemática que lleva su nombre. Las evidencias mesopotámicas demuestran que ciertos casos y procedimientos asociados a ella eran conocidos más de mil años antes de su nacimiento.

Tampoco hay fundamento para presentar a Pitágoras como un plagiador sorprendido con los apuntes de Babilonia debajo de la túnica. La transmisión histórica del conocimiento es mucho más turbia. Ni siquiera conservamos escritos originales de Pitágoras, y buena parte de lo que sabemos sobre él procede de autores posteriores y de la tradición de la escuela pitagórica. Atribuir con seguridad a una sola persona descubrimientos concretos de aquel círculo resulta problemático.

Hay, además, una diferencia importante entre conocer una relación, aplicarla y demostrarla formalmente dentro de un sistema matemático deductivo. Los documentos babilónicos prueban un dominio impresionante de los cálculos asociados a triángulos rectángulos; establecer exactamente qué concepción abstracta tenían de una proposición general equivalente al teorema moderno exige bastante más cuidado.

Por eso el hallazgo no destrona a Pitágoras tanto como destrona una versión demasiado sencilla de la historia. Los conocimientos científicos rara vez aparecen de golpe en la cabeza de un único genio. Se acumulan, viajan, se pierden, reaparecen, cambian de lenguaje. A veces también reciben el apellido de quien llegó bastante después.

El sistema de base 60 que todavía llevamos en el reloj

La matemática babilónica utilizaba un sistema sexagesimal, construido alrededor del número 60. La elección ofrecía ventajas prácticas porque 60 puede dividirse exactamente entre 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20 y 30, una pequeña fiesta para quien necesita trabajar continuamente con fracciones.

Su sombra sigue entre nosotros. Dividimos una hora en 60 minutos y un minuto en 60 segundos; la geometría y la astronomía también heredaron divisiones relacionadas con esa tradición. Aquellos escribas que presionaban una caña sobre barro húmedo no estaban jugando con curiosidades numéricas: pertenecían a una cultura matemática extraordinariamente desarrollada.

Plimpton 322 permite apreciar hasta qué punto manejaban combinaciones numéricas complejas. Si.427 enseña su aplicación sobre el terreno. YBC 7289 muestra su precisión calculando la raíz de 2. IM 67118 aporta otra pieza particularmente valiosa porque emplea la relación pitagórica dentro de la resolución y comprobación de un problema geométrico. Cuatro tablillas distintas, una misma advertencia contra la tentación de imaginar la historia de la ciencia como una hilera ordenada de europeos encendiendo bombillas.

La historia de las matemáticas estaba escrita en barro

Lo verdaderamente llamativo de estas tablillas no es descubrir que Pitágoras llegó tarde a una fórmula con su nombre. La historia de las matemáticas sabía desde hace mucho que Mesopotamia poseía conocimientos geométricos muy anteriores a la Grecia clásica. Lo fascinante es poder observar todavía el trabajo intelectual de aquellos escribas: números hundidos en arcilla que sobrevivieron a reinos, guerras, lenguas y bibliotecas enteras.

También obliga a colocar la fama en su sitio. Pitágoras conserva una importancia enorme en la tradición matemática y filosófica griega, pero el teorema que terminó asociado a su nombre tiene una prehistoria mucho más larga. Babilonia conocía la música de esos triángulos más de mil años antes de que Pitágoras subiera al escenario.

La pequeña tablilla no borra a Grecia del mapa intelectual. Hace algo bastante más interesante: ensancha el mapa. Y recuerda que una parte formidable de la historia humana sigue escondida en objetos modestos, marrones, quebrados, nada fotogénicos. A veces basta leer correctamente unas marcas hechas sobre barro hace 3.700 años para descubrir que aquello que parecía comenzar con un gran nombre llevaba siglos —muchos siglos— ocurriendo en silencio.